Belleza y verdad

Belleza y verdad Imagen superior: Leonardo Da Vinci, Hombre de Vitruvio, 1490 ca.

«Belleza» y «verdad» son palabras que atraen poderosamente nuestra atención, pero no son fáciles de definir. El concepto de belleza posee una fuerte carga subjetiva; no todos coincidiremos en nuestra apreciación de la pintura de Botticelli, Francis Bacon, Goya o Klee, ni en el juicio que nos merecen distintos tipos de música (clásica, atonal, jazz, rock…).

La apreciación de la belleza depende, en efecto, de muchas variables, la mayor parte de carácter subjetivo: nuestros juicios pueden verse influidos poderosamente por nuestra sensibilidad a los colores, nuestro estado emocional, la educación recibida o qué interpretación han transmitido otros de una obra contemplada. Dejando aparte las personas, la belleza se asocia sobre todo al arte, pero tampoco está claro cómo definir «arte». Para el pintor abstracto Gustavo Torner, «no existe el arte, solo existen las obras de arte. El arte es una cualidad inmaterial, no sabemos exactamente qué, que poseen en común todos esos objetos de arte» (1).

Y, ¿qué pasa con la verdad, que se supone menos subjetiva, pero que ha sido una de las grandes víctimas –en su categoría de «verdad absoluta»– del posmodernismo? No es infrecuente oír a algún posmoderno decir «mi verdad es tan válida como la tuya». 

Ante estas dudas perfectamente razonables, aclaro de entrada que voy a hablar de «belleza y verdad» en ciencia, y defino la ciencia como una actividad que se ocupa de los objetos y fenómenos que existen o pueden existir (que los humanos inventamos) en la naturaleza, a través del establecimiento de «sistemas lógicos con capacidad predictiva». Ahora bien, a pesar de esta acotación, lo cierto es que también en la ciencia el concepto de «belleza» es problemático, mucho más que el de «verdad», que tiene que ver con producir leyes que expresen el comportamiento de la naturaleza. 

¿Debe ser bella la matemática? ¿Y las ecuaciones de la física?

¿Deben las leyes de la naturaleza y las ecuaciones matemáticas que las expresan ser «hermosas»? ¿Qué se quiere decir con esto? La idea de que existe en la ciencia una belleza intrínseca, profunda, es tentadora y ha sido defendida por algunos grandes científicos, pero a mí no me parece ni inmediata ni demostrable.

Comencemos por la matemática. En un hermosísimo libro titulado A Mathematician’s Apology (1940), el matemático inglés Godfrey Harold Hardy, escribió:

Un matemático, lo mismo que un pintor o un poeta, es un constructor de modelos. Si éstos son más permanentes que otros, es porque están hechos con ideas. Un pintor realiza sus modelos con formas y colores, un poeta lo hace con palabras. Quizá un cuadro exprese alguna «idea», pero lo normal es que esta sea un lugar común o no tenga importancia. En la poesía, las ideas desempeñan un papel mayor; pero, como indica Housman, habitualmente se exagera la importancia de las ideas en poesía: «La poesía no es lo que se dice, sino la forma de decirlo». […] Los modelos de un matemático, al igual que los de un pintor o un poeta, deben ser hermosos; las ideas, como los colores o las palabras, deben ensamblarse de una forma armoniosa. La belleza es la primera señal, pues en el mundo no hay un lugar permanente para las matemáticas feas (2).

Como ejemplo de modelos hermosos Hardy citaba dos teoremas de la teoría de números, el «teorema fundamental de la aritmética» –que afirma que todo número entero puede descomponerse de una y solo una forma en un producto de primos– y el de «los dos cuadrados» de Fermat (también el teorema de Cantor relativo a la «no numerabilidad» del continuo). Esos dos teoremas le daban pie para manifestar:

Dije antes que un matemático era un constructor de modelos de ideas y que la belleza y la seriedad eran los criterios por los que estos modelos deberían ser juzgados. Difícilmente creería que una persona que haya comprendido estos dos teoremas dude de que satisfacen estos requisitos. Si los comparamos con los pasatiempos de Dudeney o con los más elegantes problemas de ajedrez planteados por los maestros de esta disciplina, su superioridad en ambos aspectos está clara: hay una inconfundible diferencia de clase. Son mucho más serios y también mucho más hermosos. ¿Podemos definir de un modo más preciso en qué reside su superioridad? (3)

Confieso que no comparto la opinión de Hardy, posiblemente porque no tengo su sensibilidad: ya lo he dicho, la belleza se reconoce, pero no se puede definir. 

No obstante, la matemática es una disciplina muy especial. De hecho, no está claro que debamos considerarla una ciencia, como la física, la química, la biología o la geología. Mientras que estas son sistemas de proposiciones a posteriori, falibles, la matemática sería a priori, tautológica e infalible. En 1870, en una obra titulada Linear Associative Algebra, el estadounidense Benjamin Pierce (1809-1880), uno de los creadores del álgebra asociativa lineal, definía la matemática como «la ciencia que obtiene conclusiones necesarias» (4).

Sin embargo, encontramos opiniones parecidas a la de Hardy entre algunos físicos, a la cabeza de ellos el inglés Paul A. M. Dirac (1902-1984), uno de los creadores de la mecánica cuántica. En su artículo «La relación entre la matemática y la física» Dirac resumía sus ideas al respecto exponiendo una auténtica «filosofía de la naturaleza» o una «visión del mundo». De entrada, Dirac señalaba que junto al experimento y a la observación, la otra característica de la física –a la que adjudicaba preeminencia en el estudio de los fenómenos naturales– era el método del «razonamiento matemático». A continuación se preguntaba cuál era el rasgo dominante en la aplicación de la matemática a la física: inicialmente, señalaba, había sido buscar ecuaciones cuya forma fuese «simple», característica presente en las leyes de la dinámica de Newton, de 1687. Pero el desarrollo de la física había derrumbado el principio de simplicidad: las ecuaciones de la relatividad einsteiniana eran menos «simples» que las newtonianas y por ello, afirmaba, «debemos cambiar el principio de simplicidad por un principio de belleza matemática. En sus esfuerzos por expresar las leyes fundamentales de la naturaleza el investigador debería buscar sobre todo la belleza matemática» (5).

Ante uno de los grandes retos de la física de todos los tiempos –encontrar sistemas teóricos que describan cuantos más fenómenos e interacciones mejor (unificación)–, Dirac aconsejaba «comenzar escogiendo aquella rama de la matemática más apropiada para constituir la base de la nueva teoría», y añadía:

En esta elección, tendrán gran influencia las consideraciones de belleza matemática. Probablemente sea buena idea priorizar también aquellas ramas de la matemática en las que subyace un grupo de transformaciones interesante, ya que las transformaciones desempeñan un importante papel en la moderna teoría física: tanto en la relatividad como en la teoría cuántica las transformaciones tienen más importancia que las ecuaciones.

Al igual que declaraba Torner con respecto al arte, en el fondo Dirac reconocía que la belleza matemática «es una cualidad que no se puede definir, lo mismo que no se puede definir la belleza en el arte, pero que las personas que estudian matemáticas normalmente no tienen dificultad en reconocer».

La metodología científica defendida por Dirac se acomodaba bien a su carácter humano, forjado en condiciones de gran dureza: su padre le obligaba a hablar en francés, un idioma con el que no se sentía cómodo, por lo que optó por reducir al mínimo sus conversaciones; también lo apartó de su madre y hermanos, que comían en otro lugar de la casa, mientras que él comía con su padre. Fruto de aquellas experiencias, Dirac tendió a vivir en un mundo mental independiente, a encerrarse en sí mismo. No es de extrañar que diese tanta importancia a la matemática bella en su aproximación a la física: al fin y al cabo la matemática es uno de los ejemplos más limpios de objetos ideales, platónicos, que obedecen a una lógica propia al margen del mundo fenoménico, fuera de, se podría decir, las miserias de la vida real.

En cualquier caso, podría pensarse que las tesis de Dirac no eran más que opiniones, declaraciones programáticas sobre la forma que deberían tener las leyes fundamentales de la física: un objetivo a perseguir o un criterio para valorar leyes candidatas propuestas por algún científico. Pero lo cierto es que sus trabajos en física a menudo tuvieron como elemento destacado leyes matemáticamente «bellas». Su primer gran éxito, una versión de la mecánica cuántica basada en las estructuras matemáticas de los corchetes de Poisson de la mecánica analítica, se ajustaba a ese patrón de «belleza». Y aún más se adecuaba su otro gran logro: la ecuación relativista del electrón, que halló en 1928.

Dirac, al igual que algunos de los físicos y matemáticos contemporáneos distinguidos (como Wolfgang Pauli o Hermann Weyl), estaba fascinado por la teoría especial de la relatividad. Creía que sin ella no es posible entender la auténtica esencia de la naturaleza. Ahora bien, las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica, la ecuación de onda (1926) de Erwin Schrödinger en particular, no estaban a la altura. Existía, es cierto, una ecuación relativista que generalizaba la de Schrödinger, la denominada ecuación de Klein-Gordon, pero Dirac no creía en ella. Pero no porque hubiese demostrado, o siquiera intuido, que conducía a predicciones experimentales erróneas, sino porque algunos de sus rasgos matemáticos no se adecuaban a las características que él consideraba ideales para ese tipo de ecuaciones. Y así, ante el estupor de sus colegas, que no entendían por qué no le satisfacía la ecuación de Klein-Gordon, en solitario, sin intercambiar ideas o preguntas con otros físicos, Dirac se dedicó en el otoño de 1927 a buscar una teoría que satisficiese sus expectativas para el caso del electrón. Y la encontró. Le costó unos meses, pero la encontró. En uno de los artículos que escribió muchos años después, Dirac recordaba cómo había surgido aquel hallazgo: «Fue un problema duro durante algunos meses, y la solución llegó como llovida del cielo –uno de mis éxitos inmerecidos–. Llegó jugando con las matemáticas».

Probando con diferentes expresiones matemáticas, buscando expresiones analíticas que, de algún modo, expresaran sus ideas sobre cuál debía ser el comportamiento de la naturaleza, encontró una ecuación sorprendente. Se trataba de una ecuación –relativista, por supuesto– poco habitual, que utilizaba matrices 4x4; esto es, objetos matemáticos formados por cuatro filas y cuatro columnas de números. Esto significaba que la función incógnita, el objeto matemático que describía la ecuación y que debía representar al electrón, tenía cuatro componentes. Dirac se dio cuenta de que esos cuatro componentes correspondían, por un lado, a dos posibles orientaciones del espín –uno de los atributos básicos de las partículas cuánticas, y que hasta entonces no había podido ser explicado (se había introducido solo porque era necesario para explicar resultados experimentales)– y, por otro lado, a valores positivos y negativos de la energía. 

La incorporación del espín en esa ecuación relativista fue entendida inmediatamente como un gran éxito. Pero que la nueva ecuación predijera estados negativos de energía no satisfacía tanto a Dirac. ¿Qué era eso de energías negativas? Para intentar remediar este hecho, Dirac introdujo una de sus ideas más célebres: la teoría de los «agujeros», en la que todos los estados de energía negativa se encuentran normalmente ocupados, de manera que el supuesto «vacío» no es tal ya que contiene un número infinito de electrones. Las vacantes en ese mar de estados negativos se comportaban, según Dirac, como cargas positivas con energía negativa.

De repente, lo que parecía ser un obstáculo, se convertía en una magnífica promesa: la matemática rendía frutos, guiaba a la física. Pero había problemas. Por entonces (1928) no se conocían más que dos partículas «elementales»: el electrón (de carga negativa) y el protón (de carga positiva); el neutrón (sin carga) vendría más tarde (en 1931). Parecía razonable suponer que las cargas positivas que Dirac predecía debían ser protones, pero estos tienen una masa mucho mayor que los electrones, y la ecuación relativista del electrón exigía que la nueva partícula positiva tuviera la misma masa que la negativa.

Durante bastante tiempo Dirac intentó encontrar algún mecanismo que explicase la diferencia de masas. No se atrevió a hacer lo más obvio: una lectura sencilla y directa de su nueva y bella ecuación. Ni siquiera él tuvo tanta fe en el papel de la matemática en la física, y no osó, pues, interpretar aquellas vacantes, aquellos «huecos» como manifestaciones o imágenes teóricas de un nuevo tipo de partícula elemental: los anti-electrones, de carga positiva pero idéntica masa que los electrones. Perdió así la oportunidad de predecir la existencia de la antimateria que descubrieron poco tiempo después algunos físicos experimentales.

A pesar de los magníficos resultados que obtuvo, si no se precisa más la epistemología de la ciencia de Dirac, su idea acerca del papel de la belleza matemática en la física parece plantear, de entrada, un grave problema. Si escribimos, por ejemplo, con todos los términos que intervienen en ellas, las ecuaciones del campo electromagnético de Maxwell o las del campo de la teoría de la relatividad general que Einstein completó en 1915 –una teoría que con buenos argumentos ha sido calificado como «una de las construcciones más hermosas de la física»–, no se aprecia en ellas mucha belleza: tan solo se ve cuando se entiende los principios de invariancia que subyacen en ellas (el principio de relatividad general –«las leyes de la física deben tener la misma forma independientemente del sistema de coordenadas en que se expresen»– en el caso de la teoría einsteiniana). Incluso si tomamos una ley mucho más sencilla de expresar matemáticamente como la segunda ley de la termodinámica, la del crecimiento de la entropía (que se escribe como dQ/T≥0), ¿dónde está su belleza? 

Steven Weinberg, un distinguido físico teórico estadounidense, premio Nobel de Física en 1979 por sus trabajos sobre la unificación de las fuerzas fundamentales de la naturaleza, comentó sobre estos puntos de manera muy razonable:

Por la belleza de una teoría física yo no entiendo simplemente la belleza mecánica de sus signos en la página impresa […] También distinguiré el tipo de belleza de la que estoy hablando aquí de la cualidad que los matemáticos y los físicos llaman a veces elegancia. Una prueba o un cálculo elegante es aquel que consigue un resultado poderoso con un mínimo de complicaciones irrelevantes. No es importante para la belleza de una teoría el que sus ecuaciones tengan soluciones elegantes. Las ecuaciones de la relatividad general resultan difíciles de resolver excepto en las situaciones más sencillas, pero esto no va en contra de la belleza de la teoría misma. Según Einstein, los científicos deberían dejar la elegancia para los sastres.

La simplicidad es parte de lo que yo entiendo por belleza, pero se trata de una simplicidad de ideas, no de la simplicidad de tipo mecánico que puede medirse contando ecuaciones o símbolos (6).

Para Weinberg, una de las características de la «simplicidad» es «el sentido de inevitabilidad que la teoría puede darnos», un atributo que extendía también al arte: «Al oír una obra musical o escuchar un soneto, uno siente a veces un intenso placer estético en el sentido de que nada en la obra podría ser cambiado, que no existe una nota o una palabra que a uno le hubiera gustado que fuera diferente. En la Sagrada Familia de Rafael la colocación de cada figura en el lienzo es perfecta». En la ciencia, el ejemplo favorito de Weinberg, que yo comparto, era el de la teoría de la relatividad general: «Una vez que usted conoce los principios físicos generales adoptados por Einstein, usted comprende que Einstein no hubiera podido llegar a otra teoría de la gravitación significativamente diferente».

Íntimamente ligados a los principios de simplicidad e inevitabilidad, continuaba Weinberg, se hallan los «principios de simetría», según los cuales algo se ve igual desde diferentes puntos de vista. Tomando en cuenta las aportaciones de Weinberg, las ideas, o mejor, la práctica de Dirac ya no suena tan extraña: en el fondo, lo que él hizo fue buscar y encontrar la simplicidad e inevitabilidad a las que se refería Weinberg. Asimismo, como vimos en una de sus citas, también hacía hincapié en «grupos de transformaciones» que, como explicaré más adelante, están ligados a los principios de simetría.

Belleza y simetría

No ignoro que existen obras de arte que son bellas y carecen de simetrías, pero como apuntaba Weinberg, belleza y simetría están, o pueden estar, íntimamente relacionadas. Un matemático alemán muy notable, Hermann Weyl (1885-1955), escribió en un libro titulado, precisamente, Symmetry (1952):

Si no me equivoco, la palabra «simetría» tiene dos acepciones en el lenguaje corriente. En el primer sentido, «simétrico» significa algo así como bien proporcionado, bien equilibrado, y «simetría» indica esa especie de concordancia entre partes por la cual estas concurren a integrarse en un todo. La belleza está, pues, ligada con la simetría. Así es como Policleto, que escribió un libro sobre la proporción y a quien los antiguos apreciaban por la armoniosa perfección de sus esculturas, usa la palabra simetría, y Durero continúa en esta senda al establecer un canon de proporciones para la figura humana (7).

Acaso nadie haya mostrado con tanta sencillez como elegancia la relación entre «belleza» y «simetría» como Leonardo da Vinci con «El hombre de Vitruvio» (1490 ca.), también conocido como «Canon de las proporciones humanas», en el representó a un hombre desnudo en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas, insertado en una circunferencia y un cuadrado. Aunque no es exactamente igual, la placa que la NASA incluyó en sus dos sondas espaciales, Pioneer 10 (1972) y Pioneer 11 (1973), para dar indicaciones de quiénes somos los humanos por si alguna vez las encontraba en el cosmos algún ser inteligente, se inspiró en este dibujo de Leonardo.

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Imagen superior: placa instalada en la sonda espacial Pioneer X

Desde el punto de vista de la matemática, «El hombre de Vitruvio» es un ejemplo de «simetría bilateral», la simetría de izquierda y derecha, muy característica en la estructura de los animales superiores, especialmente en el cuerpo humano. La escultura clásica «Joven orando», del 300 a. C. aproximadamente, constituye otro gran ejemplo. Por supuesto, la naturaleza «descubrió» las simetrías mucho antes de que los humanos sistematizásemos sus propiedades. Miremos a donde miremos, nos encontramos seres, objetos y sistemas que muestran simetrías: cristales, paneles de abejas, mariposas, flores u ondas de agua.

Casi un siglo después de su publicación, el libro del biólogo y matemático escocés D’Arcy W. Thomson (1860-1948), On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma, 1917) sigue siendo fundamental para conocer la variedad de formas que ha producido la naturaleza, cuyo crecimiento y diversidad explica en términos físico-matemáticos. «Nadie puede predecir» escribía Thomson en su maravillosa prosa,

hasta qué punto bastarán las matemáticas para describir la estructura del cuerpo, ni la física para explicarla. Puede que todas las leyes de la energía, todas las propiedades de la materia y toda la química de todos los coloides sean tan impotentes para explicar el cuerpo como para comprender el alma. Por mi parte, pienso que no es así. De cómo el alma informa al cuerpo, la ciencia física no me enseña nada; y cómo la materia viva influye y es influida por la mente es un misterio sin pista. La conciencia no se explica a mi entendimiento por la totalidad de vías nerviosas y neuronas del fisiólogo; ni pido a la física cuánta bondad luce en la cara de un hombre, y cómo a otro el mal le traiciona a sí mismo. Mas para la construcción y el crecimiento y el trabajo del cuerpo, como el de todo lo que hay en la Tierra, es la física, en mi humilde opinión, nuestra única maestra y guía (8).

De entre todos los casos que D’Arcy Thomson estudia en su libro, mencionaré, a modo de ejemplo, solo los que se refieren a la espiral uniforme o «espiral de Arquímedes» (que es, de manera aproximada, la forma en que un marinero enrolla un cabo sobre la cubierta) y la «espiral equiangular» (aquella cuyas vueltas aumentan en anchura con una razón constante). Este segundo tipo de espiral aparece en la naturaleza en el nautilus, un molusco cefalópodo que ha estado presente en la Tierra durante los últimos 500 millones de años (por ello se le considera un auténtico «fósil viviente»), en la concha del caracol o en la globigerina, un foraminífero planctónico.

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Imagen superior: sección de la concha de un nautilus, que muestra las cámaras dispuestas formando una espiral equiangular.

En el crecimiento de una concha, no podemos concebir una ley más simple que esta, a saber, que se ensanchará y alargará con las mismas proporciones invariables; y esta, la más simple de las leyes, es aquella que la naturaleza tiende a seguir. La concha, al igual que la criatura que alberga, crece en tamaño pero no cambia su forma; y la existencia de esta relatividad constante de crecimiento, o semejanza constante de forma, es la esencia, y puede ser la base de una definición, de la espiral equiangular (9).

La naturaleza, nos está diciendo D’Arcy Thomson, sigue las leyes más simples. Y si la naturaleza es bella, ¿no podríamos decir que la belleza es sencilla?

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Imagen superior: ejemplo de simetría traslacional en un relieve con soldados persas en la sala de audiencias del Palacio de Darío, en Persépolis

Simetrías «copiadas»

Que la simetría es bella, o que la percibimos como tal, es algo de lo que encontramos evidencia también en obras producidas por los humanos. No es difícil encontrar buenos ejemplos: la simetría traslacional (invariancia bajo traslación espacial) de los soldados persas de la apadana (sala de audiencias) del palacio de Persépolis, construido por Darío el Grande en torno al 515 a. C.; la simetría ornamental de los frisos árabes; la simetría octogonal del interior de la iglesia de Santa María de los Ángeles en Florencia, diseñada por Brunelleschi, que se comenzó a construir en 1434; la de un techo de los Reales Alcázares de Sevilla; o la cúpula geodésica ideada por el ingeniero canadiense Richard Buckminster Fuller (la patentó en 1947), un poliedro generado a partir de un icosaedro o un dodecaedro (aunque puede generarse a partir de cualquiera de los sólidos platónicos).

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Imagen superior: la biosfera de Montreal, julio 2011. Foto Idej Elixe, CC-3.0. Se trata de una cúpula geodésica de frecuencia 16, generada a partir de un icosaedro. Es una de las construcciones más conocidas de Buckminster Fuller, levantada en 1967 para la Exposición Universal de Montreal

Mención especial merece la fachada del Partenón de Atenas, en la que son evidentes las diversas simetrías que, por cierto, ocultan otra regularidad matemática: la célebre «relación áurea» o «número de oro», que también aparece en «El hombre de Vitruvio». Se trata de la serie 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…; esto es, una serie en la que cada término es suma de los dos anteriores. Es sorprendente la variedad de manifestaciones de la serie de Fibonacci (1170-1250 ca.) y de la «relación áurea»: en un girasol, por ejemplo, se observan espirales tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, y si se cuentan las espirales hacia un lado y hacia otro, se descubre que son dos números consecutivos de la serie de Fibonacci –por ejemplo, si hacia un lado es 89, hacia el otro será 55 o 144–. También los pétalos de muchas flores (margarita, azucena, caléndula, achicoria) siguen la serie de Fibonacci.

Otros tipos de simetría: transformaciones e invariancias

Hasta cierto punto, los ejemplos de simetrías que he mencionado hasta ahora son simples y esconden, pues, la riqueza de un concepto que únicamente podemos entender plenamente dentro del marco de la matemática abstracta. Surgida a partir del siglo XIX gracias, sobre todo, a las contribuciones de Évariste Galois, Sophus Lie, Felix Klein y Emmy Noether, en la matemática abstracta las nociones de «simetría» e «invariancia» se hermanaron de manera mucho más profunda que hasta entonces mostrando matices antes insospechados (a los que Steven Weinberg aludía en las citas de más arriba).

A Felix Klein (1849-1925) se debe la tesis de 1872 –conocida como «Programa de Erlangen»– según la cual la geometría es el estudio de los objetos invariantes bajo un determinado grupo de transformación (10).

De acuerdo con este planteamiento, hay tantas geometrías como grupos de transformación. Expresado de otra forma, se podría decir que existen tantos mundos (espacios) posibles como grupos de transformación. No es sorprendente que bastantes años después, instalado ya en Gotinga, Klein se entusiasmase con las teorías de la relatividad que Einstein produjo en 1905 y 1915. Si nos centramos en la relatividad especial, veremos que se puede considerar como un tipo de geometría (lorentziana), en la que los invariantes son las leyes de la física.

Dicho de otra manera, la teoría de la relatividad especial pretende describir las leyes de la física independientemente del sistema de referencia (inercial) en el que se estén observando los fenómenos.

Fue dentro del contexto de la matemática de los grupos de transformación y las invariancias (simetrías) donde se produzco un hallazgo particularmente valioso en lo que atañe a la relación entre simetría, belleza y verdad. Lo obtuvo en 1918 la matemática alemana Emmy Noether (1882-1935), y se conoce como «Teorema de Noether», un maravilloso instrumento que los físicos teóricos utilizan con frecuencia. Según este teorema, a cada simetría corresponde una ley de conservación. En el caso de las leyes de la mecánica newtoniana, la simetría-invariancia de un sistema físico que permanece igual aun habiendo un desplazamiento temporal, implica la conservación de la energía; la invariancia de los sistemas físicos con respecto a la traslación espacial implica la conservación del momento lineal (producto de la masa por la velocidad); y a la invariancia respecto a la dirección del eje de rotación corresponde la conservación del momento angular.

Las anteriores invariancias significan que el espacio considerado (que puede ser un buen candidato para representar «el mundo») es invariante bajo traslaciones (temporales y espaciales) y bajo rotaciones, y que estas características del espacio implican leyes de conservación básicas, como la de la energía. Desde este punto de vista, las simetrías-invariancias, representantes de «la belleza», ven reforzada su relación con «la verdad», expresada en este caso por las leyes de conservación.

En ocasiones se ha señalado que, dado que la relatividad einsteiniana trata de poner «en pie de igualdad» las diferentes «perspectivas» de los observadores, podría existir una relación con ciertas manifestaciones o estilos artísticas, como el cubismo. Al fin y al cabo, los cubistas hacen coexistir más de un ángulo de visión en el lienzo, de modo que se utilizan diferentes planos y perspectivas para representar una misma realidad, que queda distorsionada en comparación con patrones anteriores. Sin embargo, a pesar de esta coincidencia, no parece que las teorías de Einstein sean responsables del nuevo estilo de pintura. De hecho, los orígenes del movimiento cubista se encuentran en 1907, cuando pocos –y desde luego, solo físicos y algún matemático– habían oído hablar de la relatividad especial. Las obras de Braque, de Mondrian o de Picasso no descansaban en ninguna teoría de la relatividad: su método creativo se basaba en la memoria visual. Lo que realmente deseaban los pintores cubistas era librarse de unas convenciones estilísticas que les resultaban demasiado rigurosas; querían expresar la experiencia subjetiva del artista y su problema era cómo trasladar esa experiencia al lienzo.

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Imagen superior: Picasso, Mujer llorando (retrato de Dora Maar), 1937

La ruptura de simetrías

La mención del cubismo me lleva de vuelta a las distintas sensibilidades a la hora de apreciar la belleza que señalaba al comienzo de este texto. Las obras cubistas carecen de estructuras simétricas y, sin embargo, es obvio que no carecen de belleza. También en este caso es posible establecer un correlato con la naturaleza. La emoción que sentimos cuando contemplamos escenarios naturales –valles, cadenas de montañas, bosques, desiertos– es una experiencia que compartimos prácticamente todos los humanos. No dudamos en calificar aquello que vemos como «grandioso», «maravilloso» y «bello».

En su conmovedora autobiografía, aunque en otro contexto argumentativo (sobre la existencia de un Dios todopoderoso), Charles Darwin escribió: «En mi diario anoté que, en medio de la grandiosidad de la selva brasileña, ‘no es posible transmitir una idea adecuada de los altos sentimientos de asombro, admiración y devoción que llenan y elevan la mente’» (11). Sentimientos como estos han contribuido a pensar que tanto la naturaleza como el universo son intrínsecamente bellos, y que esa belleza se debe reflejar en las leyes que los describen. Parecería razonable concluir, como he estado apuntando, que tal belleza se manifiesta a través de la simetría. Sin embargo, la física ha desvelado hace tiempo que ciertas leyes del microcosmos violan algunos requisitos de simetría.

Cuando se piensa cómo debería ser el mundo, es decir, los requisitos que razonablemente tendrían que cumplir las leyes que lo gobiernan, los físicos suponen que, a nivel cuántico (esto es, en el mundo atómico), estas leyes deben satisfacer las siguientes simetrías:

1. Invariancia (no cambia la forma de la ley) bajo inversión espacial (x x); esto es, con respecto al origen de coordenadas espaciales, las coordenadas espaciales alteran su signo. En el lenguaje de la física cuántica, esta invariancia se denota «paridad» (P).

2. Invariancia bajo inversión del tiempo (t t); esto es, cuando se invierte el sentido del movimiento (se reemplaza una partícula en movimiento por la misma que se mueve en sentido opuesto). Se denota por T.

3. Invariancia bajo conjugación de carga (e e); esto es, cuando se cambia el signo de la carga eléctrica, lo que en el contexto de la física de partículas elementales significa reemplazar una partícula por su antipartícula, sin cambiar su posición o velocidad. Se denota por C.

En 1954, el físico alemán Gerhart Lüders demostró lo que se conoce como «teorema CPT», esto es, que todo sistema cuántico es invariante bajo el producto de las simetrías C, P y T. Esto significa, por ejemplo, que la invariancia P necesariamente implica la invariancia CT.

Dos años más tarde, Tsung-Dao Lee y Chen-Ning Yang realizaron un estudio sistemático de los datos experimentales relativos a la conservación de la paridad (invariancia bajo inversión espacial). Encontraron evidencias de que la ley de conservación de la paridad era válida en el electromagnetismo y en la interacción nuclear fuerte (la responsable de que los componentes del núcleo, protones y neutrones, se mantengan unidos), mientras que en el caso de la interacción débil (la responsable de la radiactividad) los datos no arrojaban ninguna luz sobre ese punto: las magnitudes medidas hasta entonces no eran sensibles a la conservación de la paridad. Por tanto, no se sabía si la invariancia bajo paridad se conservaba o no en la interacción débil.

Finalmente, en 1956-1957, un equipo dirigido por la física chino-americana de la Universidad de Columbia (Nueva York) Chien-Shiung Wu demostró que la invariancia bajo paridad se violaba en la interacción débil, un resultado que condujo a que Yang y Lee recibieran el Premio Nobel de Física en 1957.

No es preciso entrar en más detalles para concluir que la (bella) naturaleza no es necesariamente simétrica (invariante bajo transformaciones elementales) en sus leyes fundamentales. No es posible, pues, limitar la relación entre «belleza» y «verdad» a la «dimensión simétrica» de la naturaleza. 

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Imagen superior: brécol romanesco, ejemplo de geometría fractal en la naturaleza

La irrazonable eficacia de las matemáticas

Hasta este momento, y a través de los ejemplos que he tomado de la física, he utilizado como trasfondo la identificación de «verdad» con «expresión matemática». Sin embargo, esto conduce a un profundo problema: ¿Cómo puede ser que a pesar de su «intemporalidad», de su pertenencia aparente al mundo platónico de las ideas, la matemática «se realice» en la naturaleza y sea un instrumento imprescindible para la ciencia en su conjunto, esto es, para la búsqueda de la verdad?

El físico de origen húngaro nacionalizado estadounidense Eugene Wigner (1902-1995), premio Nobel de Física por sus contribuciones a la física nuclear y de altas energías a través del descubrimiento y aplicación de principios de simetría, expresó de manera exquisita este problema en un ensayo que se convirtió en legendario: «La irrazonable efectividad de la matemática en las ciencias naturales» (1959) (12).

En un sentido parecido al de Wigner, en una conferencia pronunciada en la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín, el 27 de enero de 1921, el propio Einstein se preguntaba: «¿Cómo puede ser que la matemática –un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia– se adecúe tan admirablemente a los objetos de la realidad?» (13). 

Son diversas las respuestas que se han dado a esta pregunta, pero hay una que encuentro particularmente satisfactoria y que, además, encaja con una visión darwinista del mundo, algo que aprecio hondamente.

Percibimos y comprendemos científicamente el mundo a través de nuestra mente, y nuestro cerebro, como todo o prácticamente todo lo nuestro, no es sino un producto surgido de un largo proceso evolutivo dirigido por, Charles Darwin dixit, la «supervivencia de los más aptos». Así pues, ¿quién estará mejor dotado para sobrevivir que aquellos cuyo cerebro les suministre representaciones no engañosas del mundo, representaciones que revelen al menos en parte su auténtica naturaleza o estructura? (14).

Si nuestra mente-cerebro fabricase representaciones del mundo que se apartasen significativamente de la «verdadera» naturaleza de las cosas, es probable que no hubiésemos tenido tanto éxito evolutivo como especie como el que indudablemente hemos tenido. Sería, por tanto, el crisol de la evolución el que explicaría el origen de, adoptando ahora una terminología kantiana, las categorías cognitivas y explicativas que posee la especie homo sapiens. De hecho, cabría dejar volar nuestra imaginación e imaginar que el éxito final de los sapiensfrente a otros homínidos, como el homo neanderthalensis (por lo que sabemos, el último brote de la rama de homínidos que compitió –en Europa al menos– con la que condujo al homo sapiens), se debió a que el desarrollo del cerebro de los sapiens permitió alcanzar la capacidad de abstracción matemática adecuada para construir representaciones del mundo más poderosas que las de otros homínidos.

Algo semejante argumentaba el astrofísico y divulgador estadounidense Carl Sagan en uno de sus libros más celebrados, The Dragons of Eden (Los dragones del Edén, 1978):

Tal vez […] todos los organismos que hallaban demasiado complejo su universo han terminado por extinguirse. Aquellos de nuestros antepasados arborícolas que tenían dificultades para calcular sus trayectorias mientras avanzaban de rama en rama no dejaron numerosa descendencia. La selección natural ha operado como una especie de cedazo intelectual dando paso a cerebros y a intelectos cada vez mejor dotados para afrontar las leyes de la naturaleza. Esta resonancia entre la mente y el universo, producto de la selección natural, puede ayudarnos a resolver el abstruso dilema planteado por Einstein cuando afirmó que «la propiedad más incomprensible del universo es, precisamente, que sea tan comprensible» (15).

Desde este punto de vista, la «irrazonable efectividad de la matemática en las ciencias naturales» dejaría de ser tal (esto es, «irrazonable»). Como uno de los productos del largo proceso evolutivo de «prueba y error», la naturaleza habría producido unos seres, nosotros, capaces de descubrir una propiedad básica del mundo: su estructura matemática. Se podría decir, en consecuencia, que ha sido la evolución la que ha descubierto la preexistente dimensión matemática de la naturaleza, y que los humanos hemos sido el brazo instrumental de semejante descubrimiento. Desaparecería así el problema de por qué las leyes fundamentales del universo se escriben en términos matemáticos, términos (ecuaciones) que una vez postulados, y recurriendo a procesos mentales en los que la observación de los fenómenos naturales desempeña un papel destacado, cobran vida propia y permiten predecir la existencia de fenómenos antes insospechados, que solo después se descubren u observan experimentalmente. El mundo sería así matemático en un sentido profundo, muy profundo, mucho más de lo que pudo haber sospechado Galileo cuando escribió en uno de sus libros, Il Saggiatore (El ensayador, 1623): 

La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que continuamente está abierto ante nuestros ojos (es decir, el universo), pero no se puede entender si primero no se aprende a comprender su lengua y a conocer los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuya ayuda es humanamente imposible entender nada; sin éstas es como girar vanamente por un oscuro laberinto (16).

Aunque nunca olvidó que el juez último de una teoría física es siempre la experiencia, Albert Einstein participó de la creencia en el papel privilegiado que juega la matemática en la búsqueda de la verdad. Así, en las Notas autobiográficas que escribió en sus últimos años, en el pasaje en el que recuerda cuando de joven cayó en sus manos un librito sobre geometría euclídea, anotó: «Había allí asertos como la intersección de las tres alturas de un triángulo en un punto, por ejemplo, que –aunque en modo alguno evidentes– podían probarse con tanta seguridad que parecían estar a salvo de toda duda. Esta claridad, esta certeza, ejerció sobre mí una impresión indescriptible». Y enseguida añadía: «Si bien parecía que a través del pensamiento puro era posible lograr un conocimiento seguro sobre los objetos de la experiencia, el ‘milagro’ descansaba en un error. Mas, para quien lo vive por primera vez, no deja de ser bastante maravilloso que el hombre sea siquiera capaz de lograr, en el pensamiento puro, un grado de certidumbre y pureza como el que los griegos nos mostraron por primera vez en la geometría» (17).

Tras atravesar diferentes etapas en su pensamiento, Einstein terminó creyendo que podemos descubrir el mundo solo con nuestra mente y las matemáticas, y así lo expuso en la conferencia Herbert Spencer que pronunció en Oxford el 10 de junio de 1933:

Si es verdad [...] que la base axiomática de la física teórica no puede ser extraída de la experiencia y debe ser inventada con libertad, ¿podemos esperar que alguna vez hallemos el camino correcto? [...] Sin ninguna vacilación responderé que, según mi opinión, existe un camino correcto y que nosotros somos capaces de hallarlo.

Hasta el momento presente nuestra experiencia nos autoriza a creer que la naturaleza es la realización de las ideas matemáticas más simples que se pueda concebir. Estoy convencido de que, por medio de construcciones matemáticas, podemos descubrir los conceptos y las leyes que los conectan entre sí, que son los elementos que proporcionan la clave para la comprensión de los fenómenos naturales. La experiencia puede sugerir los conceptos matemáticos apropiados, pero estos, sin duda alguna, no pueden ser deducidos de ella. Por supuesto, la experiencia retiene su cualidad de criterio último de la utilidad física de una construcción matemática. Pero el principio creativo reside en la matemática. Por tanto, en cierto sentido, considero que el pensamiento puro puede captar la realidad, tal como los antiguos habían soñado.

No hay duda, pues, de que matemática y verdad –la verdad no sólo tautológica, sino la asociada a las leyes que obedece la naturaleza– están íntimamente ligadas… O al menos así lo parece.

ronfractal

Imagen superior: fracción de un fractal Mandelbrot.

Belleza e irregularidades: los fractales

Hasta ahora me he centrado especialmente en el tipo de belleza que se manifiesta a través de las simetrías, pero es obvio y también lo he señalado que existe belleza no simétrica. ¿No es, por ejemplo, el Guggenheim de Bilbao un edificio bello, dominado por las curvas y no por las simetrías?

En este sentido, un buen ejemplo son los fractales. Introducida por el matemático de origen polaco Benoît Mandelbrot (1924-2010), la geometría fractal se caracteriza por pertenecer a un espacio de dimensión fraccionaria, no entera. Se trata de una geometría «de la irregularidad», de ahí que se anteponga a la geometría de la simetría, aunque una de las características de la geometría fractal es la de las relaciones de autosemejanza. En palabras del propio Mandelbrot:

La obra de mi vida ha sido desarrollar una nueva herramienta matemática para incluir en el exiguo equipo de supervivencia del hombre. La llamo geometría fractal y multifractal y es el estudio de la escabrosidad, de lo irregular y tortuoso. Acuñé su denominación en 1973. Fractal deriva de fractus, participio pasado de frangere, romper, como me recordó uno de los diccionarios de latín de mis hijos. La misma raíz pervive en muchas palabras comunes, incluidas «fracción» y «fragmento». Concebí estas ideas a lo largo de varias décadas de vagabundeos intelectuales, reuniendo muchos artefactos y asuntos perdidos, olvidados, subexplorados y en apariencia inconexos del pasado matemático, extendiéndolos en todas direcciones y creando un cuerpo de conocimiento matemático nuevo y coherente (18).

Mandelbrot se dio cuenta de que los fractales, esas curvas aparentemente monstruosas, irregulares, cuya estructura se repite a diferentes escalas, abundan efectivamente en la naturaleza. La geometría de fenómenos como, por ejemplo, el contorno de una costa, la distribución de estrellas en el universo, la estructura de nubes de gases interestelares, la turbulencia o la forma de un árbol, es fractal (19).

En su autobiografía escribía: La principal medida de la irregularidad es la dimensión fractal. La forma más simple es la dimensión de semejanza […]. La irregularidad es omnipresente en la naturaleza y en la cultura: la encontramos en la distribución de las galaxias y en la forma de las costas, las montañas, las nubes, los árboles y los diversos conductos pulmonares; también en los gráficos de las cotizaciones bursátiles, en los cuadros, en la música y en varias construcciones matemáticas […]. Es menos conocida pero también digna de mención la irregularidad de los racimos en la física del caos, los flujos turbulentos, los sistemas dinámicos caóticos, y las difusiones y ruidos anómalos […]. Al igual que las figuras geométricas regulares cuyo ejemplo ideal es el círculo, los fractales matemáticos se describen mediante fórmulas de una precisión absoluta que el ordenador puede ejecutar, con el grado de ampliación que uno desee, con objetos muy concretos: imágenes. Cada imagen me llevó a descubrimientos específicos en un área determinada de la ciencia y el arte (20).

Así que la belleza que se manifiesta en la naturaleza no se limita en absoluto a las formas simétricas. ¿Se atraverá alguien a negar la hermosura de los miles de fractales que se han identificado e identificarán en la naturaleza? La simetría es bella, sí, pero la belleza del mundo se esconde en muy diversos hogares.

Música y belleza

Hasta ahora he hablado de la belleza en las artes plásticas y en la naturaleza, pero sería una grave limitación si no añadiese algo acerca de otra arte en la que la belleza desempeña un papel central y que es posible relacionar con la ciencia: la música.

La larga tradición que unió la música con las ciencias –las matemáticas, la acústica y la fisiología sobre todo– culminó con un tratado mayúsculo, Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (Sobre las sensaciones de tono como base fisiológica para la teoría de la música; 1863), del gran fisiólogo, físico y matemático Hermann von Helmholtz (1821-1894). En las primeras líneas de su «Introducción», Helmholtz expresó con claridad la intención que albergaba su tratado:

En este trabajo se intenta conectar las fronteras de dos ciencias que, aunque vinculadas entre sí por muchas afinidades naturales, hasta ahora han permanecido separadas en la práctica. Me refiero a las fronteras de la acústica física y fisiológica por un lado, y de la ciencia y estética musical por otro. La clase de lectores a los que me dirijo tendrá, en consecuencia, formaciones e intereses muy diferentes. No estará de más, por tanto, que este autor manifieste claramente desde el principio su intención al emprender este trabajo y el fin que desea alcanzar. Los horizontes de la física, filosofía y arte han permanecido desde antiguo muy alejados y, por consiguiente, el lenguaje, los métodos y los propósitos de cada uno de estos estudios presentan una cierta dificultad para el estudiante de otros campos; posiblemente esta es la causa principal por la que el problema que se trata aquí no ha sido considerado detalladamente desde hace mucho y no se ha avanzado hacia su solución (21).

Ahora bien, una cosa es conocer la estructura física y fisiológica de la música y otra muy distinta ser un maestro en su práctica o comprender el efecto que produce en nosotros. Ya lo dijo Galileo en su inmortal Dialogo sopre i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano (1632) a través de su alter ego, Salviati: «No se aprende a tocar el órgano de los que saben fabricarlos, sino de los que saben tocarlo. La poesía se aprende de la continua lectura de los poetas. La pintura se aprende dibujando y pintando continuamente. El demostrar se aprende con la lectura de los libros llenos de demostraciones, que son únicamente los de matemáticas, no los de lógica» (22).

Cuando abordamos la cuestión de a qué se deben las sensaciones placenteras (que pueden entenderse como un indicativo de «belleza») que nos produce la música, una respuesta habitual es recurrir a la armonía, un concepto que es posible interpretar en términos físico-matemáticos como conjuntos de ondas sonoras que fluyen sin ser perturbadas, igual que cuando son emitidas individualmente. Por cierto, este hecho sirve para apreciar la diferencia entre la música y la pintura. Como el sonido, también la luz es una onda, que en función de su diferente longitud (frecuencia), produce en el ojo la sensación de color: el rojo está asociado a la longitud de onda más larga, que se va acortando con el naranja, el amarillo, el verde, y el azul hasta llegar al violeta, la más corta. Pero a diferencia del oído, el ojo no puede descomponer los sistemas compuestos de varias ondas luminosas de diferentes frecuencias. Experimenta cada color como una sensación única que no se puede descomponer, sin poder diferenciar si tal color es «mezcla» de la unión de colores más «simples». El oído, en cambio, sí puede distinguir los sonidos «elementales». Podríamos decir, siguiendo de nuevo a Helmholtz, que «el ojo no tiene sentido de la armonía en el mismo sentido que el oído; que no existe música para el ojo» (23).

Ahora bien, una música agradable es algo más que un conjunto de sonidos armónicos. Helmholtz lo expresó de manera magnífica en una conferencia que pronunció en Bonn en 1857:

El fenómeno de un tono agradable, determinado solo por los sentidos, no es sino el primer paso hacia la belleza en la música. Ya que para alcanzar esa gran belleza que atrae al intelecto, la armonía o la falta de ella son únicamente medios, aunque medios esenciales y poderosos. En la ausencia de armonía el nervio del auditorio se siente herido por los compases de tonos incompatibles. Desea el flujo puro de tonos armónicos. Así, tanto la armonía como su ausencia alternativamente urgen y moderan el flujo de tonos, mientras que la mente ve en su movimiento inmaterial una imagen de sus propios pensamientos y estados de ánimo, que cambian permanentemente. Al igual que sucede en un océano ondulante, este movimiento, que se repite rítmicamente y sin embargo siempre es cambiante, atrae nuestra atención cada vez con más fuerza. Pero mientras que en el mar son solo fuerzas ciegas las que actúan y, por consiguiente, la impresión final en la mente del espectador no es sino soledad, en el trabajo musical artístico el movimiento sigue el producto de las propias emociones del artista. En un momento se desliza suavemente, en otro salta con gracia para pasar luego a agitarse violentamente; penetrando o luchando laboriosamente con la expresión natural de la pasión, la corriente del sonido lleva al alma del oyente, con una viveza primitiva, inimaginables estados de ánimo que el artista ha vislumbrado en su interior, transportándolo finalmente a un reposo de permanente belleza, del que Dios ha permitido que sean sus heraldos unos pocos de sus elegidos favoritos. Pero he llegado a los confines de la ciencia física, y debo acabar» (24).

Y al igual que Helmholtz, también yo debo terminar.

Notas

1. Gustavo TornerReflexiones de un artista de hoy sobre el arte y la cultura (Cuenca, Instituto Juan de Valdés, 1986), p. XIV. No resisto la tentación de citar lo que Torner añadía inmediatamente, como colofón a su texto: «Dijo Borges: ‘Cuentan que Ulises, harto de prodigios, lloró de amor al divisar su Ítaca verde y humilde. El arte es esa Ítaca de verde eternidad, no de prodigios’».

2. G. H. HardyApología de un matemático, Madrid, Nivola, 1999, p. 85.

3. Ibídem, p. 96.

4. Pierce presentó este texto en la National Academy of Sciences, en Washington D. C., a partir de 1867, y se distribuyó por primera vez en 1870 en forma litografiada como regalo de Pierce a sus amigos. La cita es la primera frase del libro. Es interesante citar otras que aparecen enseguida (pp. 2-3): «La matemática no descubre leyes, ya que no es inductiva; ni es la que construye teorías, ya que no suministra hipótesis; pero es el juez de ambas [leyes y teorías] y el árbitro al que las dos deben referir sus reclamaciones; y ninguna ley puede legislar ni teoría explicar sin la sanción de la matemática. Deduce de una ley todas sus consecuencias y las desarrolla de forma adecuada para compararlas con la observación y, en consecuencia, mide la fuerza del argumento a partir de la observación en favor de una ley propuesta, o de una forma de aplicación de esta».

5. Paul. A. M. Dirac, «The relation between mathematics and physics», Proceedings of the Royal Society (Edinburgh) 59, pp. 122-129 (1938-39).

6. Steven WeinbergEl sueño de una teoría final, Barcelona, Crítica, 2010, pp. 110-111. Es interesante señalar que al igual que Torner y Dirac, Weinberg reconocía la dificultad de definir la belleza en ciencia: «¿Qué es una teoría bella? El conservador de un gran museo de arte norteamericano se indignó en cierta ocasión por mi utilización de la palabra ‘belleza’ en relación con la física. Decía que, en su área de trabajo, los profesionales habían dejado de utilizar esta palabra porque se dieron cuenta de lo imposible que era definirla. Hace mucho tiempo el físico y matemático Henri Poincaré admitía que ‘puede ser muy difícil definir la belleza matemática, pero ocurre lo mismo con cualquier tipo de belleza’». Y añadía Weinberg: «No trataré de definir la belleza, como tampoco trataré de definir el amor o el miedo. Usted no define estas cosas; usted las conoce cuando las siente. Más tarde, después de que eso se ha producido, a veces puede ser capaz de decir algo para describirlo».

7. Hermann WeylSimetría, Buenos Aires, Nueva Visión, 1958, p. 15.

8. D’Arcy ThomsonSobre el crecimiento y la forma, Madrid, Cambridge University Press, 2003, p. 25.

9. Ibídem, p. 177.

10. Se denomina «grupo» a una estructura algebraica, constituida por un conjunto, Ω, de elementos y una operación (por ejemplo, la suma) que cumple una serie de requisitos: 1) el producto de la operación de dos elementos de Ω produce un elemento que también pertenece a Ω; 2) si representamos la operación mediante el símbolo ↔, y a, b, c son elementos de Ω, entonces se debe cumplir también, que (ab)↔c = a↔(bc); 3) debe existir un elemento neutro, o, de modo que si tomo un elemento a y lo opero con él, el resultado vuelve a ser el elemento aa0 = a; y 4) para todo a, existe un elemento â (simétrico) tal que aâ = 0

11. Charles DarwinAutobiografía, Pamplona, Laetoli, 2008, p. 81. Esta autobiografía, que Darwin escribió en sus últimos años para «entretenerme» y porque quizá «podría resultar interesante para mis hijos o para mis nietos», apareció póstumamente en 1887, pero censurada por su esposa y su hijo Francis; fue una nieta suya, Nora Barlow, quien publicó la versión completa en 1958.

12. Eugene P. Wigner, «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», conferencia dictada en la Universidad de Nueva York en mayo de 1959, y publicada posteriormente en Comunications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, n°. 1, 1960.

13. Albert Einstein, «Geometrie und Erfahrung» («Geometría y experiencia»), conferencia que pronunció en la Academia Prusiana de Ciencias el 27 de enero de 1921, reproducida en A. EinsteinMis ideas y opiniones, Barcelona, Bon Ton, 2000, pp. 207-219; p. 207.

14. Introduzco las palabras «al menos en parte» porque sabemos muy bien lo limitadas que son nuestras capacidades de percepción; por ejemplo, únicamente somos capaces de ver directamente (sin recurrir a instrumentos específicos) una parte pequeña del espectro electromagnético.

15. Carl SaganLos dragones del Edén, Barcelona, Crítica, 1993, p. 236.

16. Utilizo la traducción de Víctor Navarro (ed.), Galileo, Barcelona, Península, 1991, p. 87.

17. Albert Einstein, «Autobiographisches», en Paul A. Schilpp (ed.), Albert Einstein: Philosopher-Scientist, La Salle, Ill., Open Court, 1949, pp. 3-94; p. 8.

18. B. Mandelbrot y R. L. HudsonFractales y finanzas, Barcelona, Tusquets, 2010, p. 132.

19. El ejemplo del contorno de una costa fue objeto de uno de los artículos más celebrados de Mandelbrot: «How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension», Science 156, 1967, pp. 636-638.

20. Benoît MandelbrotEl fractalista, Barcelona, Tusquets, 2014, pp. 312-313.

21. He utilizado la traducción al inglés de la cuarta y última edición alemana, de 1877: Hermann von HelmholtzOn the Sensations of Tone, Nueva York, Dover, 1954, p. 1.

22. Galileo GalileiDiálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo ptolemaico y copernicano, edición de Antonio Beltrán, Madrid, Alianza Editorial, 1994, pp. 34-35.

23. Hermann von Helmholtz, «On the physiological causes of harmony in music», en H. von HelmholtzScience and Culture, edición de David Cahan, Chicago, Chicago University Press, 1995, pp. 46-75; p.74.

24. Ibídem, p. 75.

Copyright del artículo © José Manuel Sánchez Ron. Texto publicado bajo una licencia CC-4.0. Se reproduce sin fines comerciales, por cortesía de la revista Minerva, donde apareció originalmente, en TheCult.es.

José Manuel Sánchez Ron

José Manuel Sánchez Ron (Madrid, 1949) es catedrático de Historia de la Ciencia en la Universidad Autónoma de Madrid. Miembro de la Real Academia Española y académico correspondiente de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y de la Académie Internationale d'Histoire des Sciences de París. Entre sus libros, destacan El canon científico (2005), El poder de la ciencia: historia social, política y economía de la ciencia, siglos XIX-XX (2007), Albert Einstein (2005), Marie Curie y su tiempo (2009), El jardín de Newton: La ciencia a través de su historia (2011), Los mundos de la ciencia (2012) y Cartas a Isaac Newton: El futuro es un país tranquilo (2013).

Imagen: Real Academia Española

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